Pauli-Prinzip

In seiner einfachsten Formulierung sagt das Pauli-Prinzip, dass in einem Atom keine zwei Elektronen exakt den gleichen Zustand einnehmen dürfen. Unter dem Zustand eines Elektrons versteht man dabei den physikalisch messbaren Zustand, den ein Elektron hinsichtlich Energie, Drehimpuls, Orientierung des Drehimpulses und Orientierung des Elektronenspins einnimmt. All diese physikalischen Größen werden für Quantenteilchen, also auch für Elektronen, mit sogenannten Quantenzahlen abgekürzt. Dabei steht n für die Energie, l für den Drehimpuls, m für die Orientierung des Drehimpulses, s für den Spin und sm für die Ausrichtung des Elektronenspins. Ein Satz von Quantenzahlen besteht also aus dem Set (n, l, m, s, sm).

Das Pauli-Prinzip sagt, dass zwei Elektronen in einem Wasserstoffatom nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen dürfen. Allgemeiner dürfen nach dem Pauli-Prinzip sämtliche sogenannte "Fermionen", zu denen auch die Elektronen zählen, nicht in all ihren Eigenschaften übereinstimmen.

Entdeckt wurde das Pauli-Prinzip von dem Physiker Wolfgang Ernst Pauli, der für diese von ihm selbst als "Ausschließungsprinzip" bezeichnete Entdeckung 1945 den Nobelpreis bekam.

Konsequenzen des Pauli-Prinzips

Das Pauli-Prinzip hat viele Konsequenzen. Es wird beispielsweise zur Erklärung der Elektronenkonfigurationen von verschiedenen Elementen herangezogen. Selbst die Stabilität von Neutronensternen wird mit dem Pauli-Prinzip erklärt. Neutronensterne sind nämlich so schwer und kompakt, dass es außer der Abstoßung der Neutronen, die wegen des Pauli-Verbots nicht den gleichen Ort einnehmen dürfen, keine bekannte Kraft gibt, die dem Gravitationsdruck in einem Neutronenstern Stand halten könnte.

Ohne die enorme abstoßende Kraft der Neutronen in einem Neutronenstern, welche durch das Pauli-Verbot kommt, würde ein Neutronenstern unter seinem eigenen Gewicht zu einem Punkt kollabieren. Dies passiert auch ab einer gewissen Grenzmasse und es verbleibt ein schwarzes Loch. Das Pauli-Prinzip ist also im Rahmen herkömmlicher Kräfte gültig, aber nicht grundsätzlich unüberwindbar.

Auch die Austauschwechselwirkung der Elektronen in einem Festkörper, welche für die Erscheinung des Ferromagnetismus verantwortlich ist, kann nur mit dem Pauli-Prinzip verstanden werden.

Austauschwechselwirkung

In der heutigen Formulierung lautet das Pauli-Prinzip: "Die Gesamtwellenfunktion eines Systems von N Fermionen ist total antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung zweier Teilchen". Dies klingt zunächst sehr abstrakt, kann jedoch am Beispiel der Austauschwechselwirkung verständlich gemacht werden.

Elektronen sind sogenannte Fermionen. Alle Teilchen mit halbzahligem Spin sind Fermionen. Der Elektronenspin besitzt die Quantenzahl ½. Elementarteilchen können mathematisch ganz allgemein mit einer sogenannten Wellenfunktion beschrieben werden. Man kann die Elektronen auch mit einem Produkt aus Wellenfunktionen beschreiben, wobei dann jeder Faktor der Gesamtwellenfunktion für eine bestimmte Eigenschaft steht. So beschreibt die Ortswellenfunktion den Ort, die Spinwellenfunktion den Spin usw...

Die Elektronen können sich laut des Pauli-Prinzips nicht am gleichen Ort befinden, wenn sie sich in keiner weiteren Quantenzahl (wie beispielsweise der Richtung des Spins) unterscheiden. Dies folgt aus der Formulierung der "totalen Antisymmetrie bezüglich der Vertauschung zweier Teilchen". Genauer muss das Pauli-Prinzip so verstanden werden, dass die Wellenfunktionen von benachbarten Elektronen in einem Festkörper antisymmetrisch zueinander sein müssen. Das bedeutet, dass sich die Elektronen genau in einer oder in drei Eigenschaften unterscheiden müssen ("antisymmetrisch" sein müssen), wenn alle anderen Eigenschaften gleich, also "symmetrisch", sind. Die Elektronen dürfen sich auch nicht genau in zwei Eigenschaften unterscheiden. Das Produkt zweier antisymmetrischer Wellenfunktionen ist sonst wieder symmetrisch. Generell ist das Produkt einer geraden Anzahl antisymmetrischer Wellenfunktionen immer symmetrisch und das Produkt einer ungeraden Anzahl antisymmetrischer Wellenfunktionen ist immer antisymmetrisch. Die symmetrischen Wellenfunktionen verändern die Gesamtwellenfunktion nicht.

Es muss also eine ungerade Anzahl von Funktionen antisymmetrisch sein, wenn alle anderen Funktionen, die die Eigenschaften der Teilchen beschreiben, symmetrisch sind. Bei den benachbarten Elektronen in einem Festkörper handelt es sich um Elektronen mit antisymmetrischer Orts-Wellenfunktion. Alle anderen Funktionen sind symmetrisch. Man kann sich dies so vorstellen, dass die Elektronen sich hinsichtlich ihres Ortes unterscheiden aber sonst in keiner weiteren Größe. In der Sprache der Symmetrie von Wellenfunktionen würde man sagen: Die Ortswellenfunktion der Elektronen ist antisymmetrisch, alle Wellenfunktionen außer der Spinwellenfunktion sind symmetrisch, also muss die letzte verbleibende Wellenfunktion, nämlich die Wellenfunktion der Spinausrichtung, ebenfalls symmetrisch sein, damit die Gesamtwellenfunktion antisymmetrisch ist, wie es das Pauli-Prinzip verlangt.

Die Elektronen dürfen sich also im Spin nicht unterscheiden.

Aus dem gleichen Grund also, warum die Elektronen innerhalb eines Atoms nicht am gleichen Ort auch die gleiche Spinausrichtung haben können, dürfen die Elektronen benachbarter Atome in einem ferromagnetischen Festkörper keine unterschiedliche Ausrichtung des Elektronenspins haben, da sie ansonsten bezüglich aller Eigenschaften symmetrisch wären.

Deshalb stabilisieren sich in einem Ferromagneten die Elektronenspins untereinander aufgrund des Pauli-Prinzips. Diese Wechselwirkung wird Austauschwechselwirkung genannt, wie die Formulierung des Pauliverbots von einer notwendigen Antisymmetrie bei der "Vertauschung" bzw. dem "Austausch" der Teilchen spricht.